Question

已知曲線C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）．給出下列命題：
（1）k=1，C是拋物線；
（2）1＜k＜2，C是焦點在y軸上橢圓；
（3）k＞2，C是焦點在x軸上橢圓；
（4）k＜1，k≠0，C是雙曲線．
其中真命題序號是

①②

．

Answer 1

分析：對于（1）取特殊值k=1，C是x²-3y+2=0 其表示的曲線是拋物線；對于（2）對C配方LC：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）可化成：C：x²+（k-1）[y-

3k

2(k-1)

]²=

9k 2

2(k-1)

-2k，再進行判斷；（3）k＞2，由于C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0中含有y的一次項，C不表示是焦點在x軸上橢圓．（4）k＜1，k≠0，C不是雙曲線．

解答：解：（1）k=1，C是x²-3y+2=0 其表示的曲線是拋物線；故（1）正確；
（2）C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）可化成：
C：x²+（k-1）[y-

3k

2(k-1)

]²=

9k 2

2(k-1)

-2k，
當1＜k＜2，C是焦點在y軸上橢圓；正確．
（3）k＞2，由于C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0中含有y的一次項，C不表示是焦點在x軸上橢圓；故錯．
（4）k＜1，k≠0，C不是雙曲線．
其中真命題序號是 ①②．
故答案為：①②．

點評：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、配方法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．