Question

已知曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數=y=lnx及函數y=e^x的圖象分別交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²+x₂²的值為

9

．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，如圖．利用于函數=y=lnx和函數y=e^x是互為反函數，其函數=y=lnx及函數y=e^x的圖象關于直線y=x對稱，曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）也是關于直線y=x對稱，從而曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數=y=lnx及函數y=e^x的圖象的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也關于直線y=x對稱，得出x₂=y₁．再根據A（x₁，y₁）在圓弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，即可得出答案．

解答：解：畫出圖形，如圖．
由于函數=y=lnx和函數y=e^x是互為反函數，故函數=y=lnx及函數y=e^x的圖象關于直線y=x對稱，從而曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數=y=lnx及函數y=e^x的圖象的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也關于直線y=x對稱，
∴x₂=y₁．
又A（x₁，y₁）在圓弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，
x₁²+y₁²=9，即x₁²+x₂²=9．
故答案為：9．

點評：本小題主要考查函數對稱性的應用、反函數的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．