Question

【題目】已知函數f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．

(1)若a＝1，求函數f(x)的極值和單調區間；

(2)若在區間(0，e]上至少存在一點x0，使得f(x0)<0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝1時，f(x)有極小值為1；y＝f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．

（2）a∈∪(e，＋∞)．

【解析】試題分析：（1）求函數 的導數，令導數等于零，解方程，再求出函數的導數和駐點，然后列表討論，求函數的單調區間和極值；
（2）若在區間 上存在一點 ，使得 成立，其充要條件是在區間上的最小值小于0即可．利用導數研究函數在閉區上的最小值，先求出導函數 ，然后討論研究函數在上的單調性，將的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．

試題解析：

(1)當a＝1時，f′(x)＝－＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝1，

又y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，

由f′(x)<0，得0<x<1；由f′(x)>0，得x>1.

所以x＝1時，f(x)有極小值為1.

y＝f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．

(2)f′(x)＝－＋＝，且a≠0.

令f′(x)＝0，得x＝.

若在區間(0，e]上存在一點x0，使得f(x0)<0成立，

即y＝f(x)在區間(0，e]上的最小值小于0.

當a<0時，f′(x)<0對x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在區間(0，e]上單調遞減，

故y＝f(x)在區間(0，e]上的最小值為f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即a∈.

當a>0時，

①若e≤，即0<a≤，則f′(x)≤0對x∈(0，e]恒成立，

所以y＝f(x)在區間(0，e]上單調遞減，

則y＝f(x)在區間(0，e]上的最小值為f(e)＝＋aln e＝＋a>0，顯然，y＝f(x)在區間(0，e]上的最小值小于0不成立．

②若0<<e，即a>，則有

x
f′(x)	－	0	＋
f(x)	↓	極小值	↓

所以f(x)在區間(0，e]上的最小值為f＝a＋aln，

由f＝a＋aln＝a(1－ln a)<0，得

1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．

綜上可知，a∈∪(e，＋∞)．