Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面四邊形是矩形，平面，分別是的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)45°；(3).

【解析】試題分析:（1）取的中點，要證平面，即證，構造平行四邊形即可；（2）根據題意易知為二面角的平面角，求出即可；（3）易證平面，為直線與平面所成的角，即可求出直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：

（1）證明：取的中點，連接，

∵是的中點，

∴，且，

∵四邊形是矩形，

∴，且，

∴，且，

又∵是的中點，

∴，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵平面，平面

∴平面.

（2）∵平面，平面

∴ ，

∵四邊形是矩形，

∴ ，

∵ ，、平面，

∴平面，

又∵平面，

∴為二面角的平面角，

∵，

∴為等腰直角三角形

∴，即二面角的大小為.

（3）由（2）知，為等腰直角三角形

∵是斜邊的中點，

∴，

由（1）知，，

∴，

又由（2）知，平面，平面，

∴ ，

∴ ，

又∵平面，

∴平面，

∴是直線在平面上的射影，

∴為直線與平面所成的角，

在中，，，

∴，

在等腰直角中，

∵是的中點，

∴，

∴

∴，

即直線與平面所成角的正弦值為.

點睛:求直線與平面所成角問題主要有兩個方法:

①定義法,在斜線上取一點,過此點引平面的垂線,連接垂足與斜足得到射影,斜線與射影所夾較小角即線面角;

②等積法:直接求得斜線上一點到平面的距離，其與斜線段長的比值即線面角的正弦值，關鍵求點到平面距離，往往利用等積法來求.