Question

已知函數f（x）=ax³+bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）試確定a，b的符號；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[b，a]上有最大值為a-b²，試求a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求得函數f（x）的導數，求出切線的斜率，即可得到a，b的關系式，從而確定a，b的符號；
（Ⅱ）令f′（x）＞0得增區間，令f′（x）＜0得減區間，進而得到極大值點和極小值點，對a討論，①當0＜a≤3時，②當a＞3時，求得最大值，解方程即可得到所求a的值．

解答： 解：（I）f'（x）=3ax²+2bx，
由f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，得f'（2）=0，∴b=-3a，
又a＞b，∴a＞0，b＜0．
（II）令f'（x）=3ax²-6ax=0，得x=0，或x=2，
易證x=0是f（x）的極大值點，x=2是極小值點．
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3，
（1）當0＜a≤3時，f（x）_max=f（0）=0，∴a-b²=0，
由

a-b2=0 b=-3a

，解得a=

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，符合條件0＜a≤3；
（2）當a＞3時，f(x)max=f(a)=a4+a2b，
∴a⁴+a²b=a-b²，把b=-3a代入并化簡，得a³-3a²+9a-1=0，
設g（a）=a³-3a²+9a-1（a＞3），
∵g'（a）=3a²-6a+9=3（a-1）²+6＞0，
∴g（a）在a∈（3，+∞）上是增函數，∴當a＞3時，g（a）＞g（3）=26＞0，
∴g（a）=0在（3，+∞）上無實數根，
綜上所述，a=

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．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，函數的單調性的應用，考查運算能力，屬于中檔題．