Question

設a為實數，函數f(x)＝x3－x2－x＋a． (1) 求f(x)的極值 (2) 當a在什么范圍內取值時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(x)=3x－2x－1．若(x)=0，則x=，1． 　　當x變化時，(x)的變化情況如下表： 　　所以f(x)的極大值是f．極小值是f(1)=a－1．
(2)	函數f(x)=x3－x2－x＋a=(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知x取足夠大的正數時，有f(x)＞0，x取足夠小的負數時有f(x)＜0，所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個交點． 　　結合f(x)的單調性可知： 　　當f(x)的極大值＋a＜0，即a∈時，它的極小值也小于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在(1，＋∞)上 　　當f(x)的極小值a－1＞0．即a∈(1，＋∞)時，它的極大值也大于0，因此直線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在上． 　　所以當a∈∪(1，＋∞)時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點． 　　點評：本題考查函數和函數極值的概念，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分析問題和解決問題的能力．