Question

圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過點(diǎn)且傾斜角為的弦，

（1）當(dāng)＝135^０時，求;
（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時，求出直線的方程;
（3）設(shè)過點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.

Answer 1

（1）(2) (3)

試題分析：（1）要求弦長,可利用弦長公式,即將弦所在的直線方程,與圓的方程聯(lián)立,之后所得的二次方程中,利用求之.還可以利用圓中求之,其中是圓心到弦所在直線的距離,指弦長.但是不論采取哪種方法,都先得求出弦所在的直線方程.根據(jù)題意,點(diǎn)斜式可求出.
(2)當(dāng)弦被平分時,弦所在直線被直線垂直且平分.所以,可先求出直線斜率, 根據(jù)垂直可知直線斜率,又因為直線過點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)斜式可求出直線.
(3)因為過點(diǎn)的弦可分為三種情況,①無斜率,此時,;②斜率為0,此時平行x軸， ；③直線有斜率，且不為0，此時，根據(jù)斜率相乘等于-1可找到點(diǎn)軌跡，將①②代入③中驗證即可.
試題解析：（1）當(dāng)時，直線的斜率為-1，根據(jù)點(diǎn)斜式有,直線的方程，
所以圓心到直線的距離為，又因為 ,
所以根據(jù),解得
（2）當(dāng)弦被平分時，，，
又因為直線過點(diǎn),所以根據(jù)點(diǎn)斜式有直線的方程為.
（3）設(shè)的中點(diǎn)為，則   ,即 
當(dāng)的斜率和的斜率都存在時：有

當(dāng)斜率不存在時點(diǎn)滿足上式，
當(dāng)斜率不存在時點(diǎn)亦滿足上式，
所以點(diǎn)的軌跡為。