Question

關于函數f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的如下結論：
①f（x）是奇函數；②函數f（x）的值域為（-2，2）；③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函數g（x）=f（x）-3x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有

①②③

．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

分析：由定義域關于原點對稱且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數，故①正確．利用不等式的性質可得，-2＜f（x）＜2，故②正確． 根據奇函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
可得函數f（x）在（-∞，0）上也是增函數，故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．函數g（x）=f（x）-3x在R上的零點個數，即函數y=f（x）與函數y=3x的圖象交點個數．而兩個增函數的圖象交點最多有兩個，故④不正確．

解答：解：函數f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的定義域為R，
由f（-x）=

-2x

1+|x|

=-f（x），可得f（x）是奇函數，故①正確．
由于-|x|≤x≤|x|，∴-

2|x|

1+|x|

≤f（x）≤

2|x|

1+|x|

．
∴-

2|x|+2

1+|x|

＜f（x）＜

2|x|+2

1+|x|

，∴-2＜f（x）＜2，故②正確．
當x＞0時，f(x)=

2x

1+x

=

2(x+1)-2

1+x

=2-

2

x+1

＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
再由奇函數的性質可得，函數f（x）在（-∞，0）上也是增函數，且f（x）＜0，f（0）=0，
故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．
由③可得，函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，函數g（x）=f（x）-3x在R上的零點個數，即函數y=f（x）與函數y=3x的圖象交點個數．
而兩個增函數的圖象交點最多有兩個，故函數g（x）=f（x）-3x在R上有三個零點不可能，故④不正確．
故答案為 ①②③．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性、值域，函數的零點個數的判斷，屬于基礎題．