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已知函數f(x)=
2,x>k
x2+4x+2,x≤k
,若關于x的方程f(x)=x恰有三個不同的實根,則k的取值范圍為(  )
分析:由題意可得函數f(x)的圖象和直線y=x應有3個不同的交點.如圖所示:當k=-1時,函數f(x)的圖象和直線y=x有3個不同的交點,滿足條件;當k<-1
或k≥2時,函數f(x)的圖象和直線y=x有2個不同的交點,不滿足條件;綜合可得結論.
解答:解:由于直線y=x和拋物線y=x2+4x+2相較于兩個點A(-2,-2)、B(-1,-1),
由題意可得函數f(x)的圖象和直線y=x應有3個不同的交點,故直線y=x和射線y=2(x>k)有一個交點.
當k=-1時,數形結合可得函數f(x)的圖象和直線y=x有3個不同的交點A、B、C,故k=1滿足條件;
當k<-1時,函數f(x)的圖象和直線y=x有2個不同的交點,不滿足條件.
當k=2時,數形結合可得函數f(x)的圖象和直線y=x有2個不同的交點A、B,故k=2不滿足條件.
當k>2時,函數f(x)的圖象和直線y=x有2個不同的交點A、B,不滿足條件.
數形結合可得,當-1≤k<2時,函數f(x)的圖象和直線y=x有3個不同的交點,滿足條件,
故選D.


點評:本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷,體現了轉化以及數形結合的數學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
2-xx+1

(1)求出函數f(x)的對稱中心;
(2)證明:函數f(x)在(-1,+∞)上為減函數;
(3)是否存在負數x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數f(x)的值域和最小正周期;
(2)當x∈[0,2π]時,求使f(x)=
3
成立的x的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過點(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
(3)若f(x)+mx>1對一切的正實數x均成立,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當x=
3
3
時,函數f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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