Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對任意的恒成立，，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對 分類討論導函數(shù)的符號，在 時由導函數(shù)在不同區(qū)間內的符號得到原函數(shù)的單調性，從而求得函數(shù)的極值點；
（Ⅱ）由函數(shù) 在 處取得極值求得，代入函數(shù)解析式，進一步代入 ，分離參數(shù)后構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值后得答案．

試題解析：

（1）.

當時，在上恒成立，函數(shù)在單調遞減，所以在上沒有極值點；

當時，由得，由得

所以在上遞減，在遞增，即在處有極小值.

綜上：當時，在上沒有極值點；

當時，在上有一個極值點.

（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以.

因為，令，可得在上遞減，在上遞增.

∴ ∴.