Question

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是一直角梯形，，,，且PA=AD=DC=AB=1.

(1)證明：平面平面
(2)設AB,PA,BC的中點依次為M、N、T，求證：PB∥平面MNT
(3)求異面直線與所成角的余弦值

Answer 1

（1）證明：先得
由，推出,,根據得到平面平面；
（2） 。

試題分析：

（1）證明：∵,∴
又∵，
∴,∵,且
∴,又∵∴平面平面      4′
（2）連接MN，MT，NT; ∵M、N分別為AB、AP中點 ∴MN//PB
∵,∴PB∥平面MNT     7′
解：∵AB中點M，AP中點N，BC中點T，，則MN//PB，MT//AC
∴就是異面直線AC與PB所成角(或補角)。     9′
∵,∴在RT△PAB中，,
在RT△ADC中，,,在RT△ACT中,,
在RT△NAT中,,∴在△MNT中，
故異面直線AC與PB所成的角的余弦值為         12′
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題屬于立體幾何中的基本問題。