Question

19.在棱長為a的正方體OABC－中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE＝BF.

(1)求證：A′F⊥C′E；

(2)當三棱錐B′－BEF的體積取得最大值時，求二面角B′―EF―B的大小.(結果用反三角函數表示)

Answer 1

19.(1)［證明］如圖，以O為原點建立空間直角坐標系.

設AE=BF=x，則A′(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C′(0，a，a)、E(a，x，0)，

={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.  

∵·=－xa+a(x－a)+a²=0，

∴A′F⊥C′E.                                                                 

 

(2)［解］記BF=x，BE=y，則x+y=a，三棱錐B′－BEF的體積

V=xya≤=a³，

當且僅當x=y=時，等號成立.

因此，三棱錐B′－BEF的體積取得最大值時，BE=BF=.

過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF.

∴∠B′DB是二面角B′－EF－B的平面角.

在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高，

∴BD=a.

tg∠B′DB==2，

故二面角B′－EF－B的大小為arctg2.