Question

（2001•上海）在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小．（結果用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（I）以O為原點建立空間直角坐標系，AE=BF=x，驗證

A′F

•

C′E

=0，即可證明A′F⊥C′E；
（Ⅱ）利用基本不等式，確定三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，BE=BF=

a

2

，過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF，從而∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角，即可求出二面角B′-EF-B的大小．

解答：（I）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．
設AE=BF=x，則A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）
∴

A′F

={-x，a，-a}，

C′E

={a，x-a，-a}．…（4分）
∵

A′F

•

C′E

=-xa+a(x-a)+a2=0，
∴A′F⊥C′E．
（II）解：記BF=x，BE=y，則x+y=a，
三棱錐B′-BEF的體積V=

1

6

xya≤

a

6

(

x+y

2

)2=

1

24

a3，
當且僅當x=y=

a

2

時，等號成立．
因此，三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，BE=BF=

a

2

．…（10分）
過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．
在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=

a

2

，BD是斜邊上的高，
∴BD=

2

4

a，tan∠B′DB=

B′B

BD

=2

2

，
故二面角B′-EF-B的大小為arctan2

2

．…（14分）

點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查三棱錐的體積，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．