Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、O、O₁分別是A₁B、AC、A₁C₁的中點，且OH⊥O₁B，垂足為H．
（1）求證：MO∥平面BB₁C₁C；
（2）分別求MO與OH的長；
（3）MO與OH是否為異面直線A₁B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線間的距離．

Answer 1

分析：（1）要求證：MO∥平面BB₁C₁C，只需證明MO∥B₁C即可．
（2）直接求MO，在三角形中求OH的長；
（3）說明OH與異面直線A₁B與AC都垂直相交；求出MO與AC所成的角可以判斷是否是公垂線，求這兩條異面直線間的距離．由（2）可知結果．

解答：（1）證明：連接B₁C，∵MO是△AB₁C的中位線，∴MO∥B₁C．∵B₁C不在平面BB₁C₁C，
∴MO∥平面BB₁C₁C．
（2）解：MO=

1

2

B₁C=

2

2

a，
∵OH是Rt△BOO₁斜邊上的高，BO=

2

2

a，
∴OH=

3

3

a．
（3）解：MO不是A₁B與AC的公垂線，MO∥B₁C，△AB₁C為正三角形，∴MO與AC成60°角．
∵AC⊥BD，AC⊥OO₁，∴AC⊥面BOO₁．∵OH不在面BOO₁內，∴OH⊥AC，OH⊥A₁C₁．
∵OH⊥O₁B，A₁C₁∩O₁B=O₁，∴OH⊥面BA₁C₁，OH⊥A₁B．∴OH是異面直線A₁B與AC的公垂線，
其長度即為這兩條異面直線的距離．∴OH=

3

3

a．

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與直線垂直，求距離問題，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．