Question

【題目】如圖橢圓的上下頂點(diǎn)為A、B，直線： ，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)N，連結(jié)BP并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，設(shè)AP、BP所在直線的斜率分別為，若橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，（1）求的值，并求最小值；（2）隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）， 的最小值為（2）

【解析】試題分析：（1）由題意可知，又，解出得到橢圓方程，設(shè)橢圓上點(diǎn)，代入橢圓方程，再由斜率公式，即可得到的值，設(shè)，求出，再由基本不等式求出的最小值；（2）設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)整理，若圓過定點(diǎn)，則有，化簡(jiǎn)整理，若圓過定點(diǎn)，則有，解出即可判斷.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以此橢圓的方程是;

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，有，所以,

設(shè)，則，可得;

不妨設(shè)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 的最小值為；

（2）因?yàn)?/span>，則以M、N為直徑的圓的方程為，即，因圓過定點(diǎn)，則有，解得，即定點(diǎn)為.