Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

AD．E為AB中點，F為PC中點．
（Ⅰ）求證：PE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；
（Ⅲ）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求AF的長．

Answer 1

分析：（I）由題意PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，利用已知BC⊥AB，利用線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，進而利用線面垂直的性質得到線線垂直；
（II）利用題中的條件建立空間直角坐標系，先寫出各個點的坐標，利用兩平面的法向量的夾角求解二面角的大小；
（III）利用方程的思想及棱錐的體積公式計算出未知變量的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E為AB中點，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐標系A-xyz，設AB=1，則B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E(

1

2

，0，0)

BC

=(0，1，0)，

EP

=(-

1

2

，0，1)，

EC

=(

1

2

，1，0)
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴

BC

是平面PAE的法向量．
設平面PEC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

EC

=0且

n

•

EP

=0
∴y=-

1

2

x， z=

1

2

x，

n

=（2，-1，1）
∴cosθ= |

n • BC

| n |•| BC|

 |=

6

6

，
二面角C-PE-A的余弦值為-

6

6

．
（Ⅲ）連接BC，設AB=a
∵VP-ABCD=

1

3

×(

a+2a

2

)•a×a=

a3

2

=4∴a=2
∵△PAC是直角三角形∴AF=

1

2

PC=

3

．

點評：此題中點考查了線面垂直的判定及其性質，還考查了利用向量求解二面角的大小，利用方程的思想利用棱錐的體積公式建立方程進而求解．