Question

11．如圖，拋物線M：y=（x+1）（x+a）（a＞1）交x軸于A、B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點．拋物線M關于y軸對稱的拋物線N交x軸于P、Q兩點（P在Q的左邊）
（1）直接寫出A、C坐標：A（-a，0），C（0，a）；（用含有a的代數(shù)式表示）
（2）在第一象限存在點D，使得四邊形ACDP為平行四邊形，請直接寫出點D的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；并判斷點D是否在拋物線N上，說明理由．
（3）若（2）中平行四邊形ACDP為菱形，請確定拋物線N的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x，則可求得A、B坐標，令x=0可求得C點坐標；
（2）可先求得拋物線N的解析式，則可求得P點坐標，由平行四邊形的性質可知CD=AP，則可求得D點坐標；
（3）由菱形的性質可知AC=AP，則可得到關于a的方程，可求得拋物線N的解析式．

解答 解：
（1）在y=（x+1）（x+a）中，令y=0可得（x+1）（x+a）=0，解得x=-1或x=-a，
∵a＞1，
∴-a＜-1，
∴A（-a，0），B（-1，0），
令x=0可得y=a，
∴C（0，a），
故答案為：-a，0；0，a；
（2）∵拋物線N與拋物線M關于y軸對稱，
∴拋物線N的解析式為y=（x-1）（x-a），
令y=0可解得x=1或x=a，
∴P（1，0），Q（a，0），
∴AP=1-（-a）=1+a，
∵四邊形ACDP為平行四邊形，
∴CD∥AP，且CD=AP，
∴CD=1+a，且OC=a，
∴D（1+a，a）；
（3）∵A（-a，0），C（0，a），
∴AC=$\sqrt{2}$a，
當四邊形ACDP為菱形時則有AP=AC，
∴$\sqrt{2}$a=1+a，解得a=$\sqrt{2}$+1，
∴拋物線N的解析式為y=（x-1）（x-$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象與坐標軸的交點、軸對稱、平行四邊形的性質、菱形的性質、勾股定理等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標軸交點的求法，在（2）中由平行四邊形的性質求得AP=CD、AP∥CD是解題的關鍵，在（3）中由菱形的性質得到AC=AP是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．