Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，兩個焦點分別為， ，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點， 是橢圓上位于直線兩側的兩點.若，求證：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：(1) 因為,所以，①由四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，可得.② 聯立 ①② 解出a,b,c（2）由（1）易知點的坐標分別為若，所以直線的斜率之和為0. 設直線的斜率為，則直線的斜率為， ，

直線的方程為，由 可得，∴，同理直線的方程為，

可得，∴，

把上邊式子代入即得解.

試題解析：

（1）因為,所以，①

由四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，

可得.②

由①可得，所以，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）易知點的坐標分別為若，所以直線的斜率之和為0.

設直線的斜率為，則直線的斜率為， ，

直線的方程為，由

可得，∴，

同理直線的方程為，

可得，∴，

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