Question

3．如圖是某班一次數學測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖和莖葉圖，但它們都受到了不同程度的損壞．
（1）求頻率直方圖中a的值以該班的人數；
（2）估計該班同學在本次數學考試中的平均成績；
（3）從成績在[50，70）的學生中任選2人，求至少有1人的成績都在[50，60）中的概率．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖可知：[90，100）的頻率/組距為2a，根據頻率分布直方圖的小長方形的面積之和為1，即可求得a的值；
（2）根據平均數的求法，即可求得這20名學生的平均成績；
（3）[50，70）的學生有2人，[70，90）的學生有3人，分別求得在[50，90）的學生中任選2人可能發生的情況及恰好有1人的成績在[50，70）的情況，根據古典概型概率公式，即可求得答案．

解答 解：（1）由[50，60）及[90，100）的人數想的，則[90，100）的頻率/組距為2a，
∴（2a+3a+7a+6a+2a）×20=20a×20=1，得$a=\frac{1}{400}$，
（2）$\overline x=2a×20×60+3a×20×80+7a×20×100+6a×20×120+2a×20×140$=41200a=103（分），
這20名學生的平均成績103（分）；                                …（6分）
（3）由（Ⅰ）可知，[50，70）的學生有2人，記為：A，B；…（7分）
[70，90）的學生有3人，記為：C，D，E；
在[50，90）的學生中任選2人，有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}；{C，D}，{C，E}；{D，E}，共10種情況．…（10分）
恰好有1人的成績在[50，70），有：{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}，共6種情況．
記事件“恰好有1人的成績在[50，70）”為A，
則$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．                                  …（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖及莖葉圖的應用、列舉法計算基本事件及事件發生的概率，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．