Question

已知函數f(x)=3^x,且f^-1(18)=a+2,g(x)=3^ax-4^x的定義域為區間［0，1］.

（1）求g(x)的解析式；

（2）求g(x)的單調區間，確定其增減性并試用定義證明；

（3）求g(x)的值域.

Answer 1

解析：（1）∵f^-1(18)=a+2,∴f(a+2)=18,3^a+2=18, 即3^a=2.

∴g(x)=3^ax-4^x=2^x-4^x,x∈［0，1］.

（2）g(x)=2^x-4^x在［0，1］遞減.

證明：設x₁,x₂∈［0，1］，且x₁＜x₂，

g(x₂)-g(x₁)=，

∵0≤x₁＜x₂≤1,

∴＜0.

∴g(x₂)＜g(x₁)即證.

（3）由（2）知  -2≤g(x)≤0,g(x)的值域為［-2，0］.