Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

11

2

n，數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項和為153．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數列{c_n}的前n項和為T_n，若對任意正整數n，T_n∈[a，b]，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件通過a_n=S_n-S_n-1，求數列{a_n}的通項公式，利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項和為153，求出公差，然后求出{b_n}的通項公式；
（2）利用c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，求出表達式，通過裂項法直接求解數列{c_n}的前n項和為T_n，然后通過數列和的最值求b-a的最小值．

解答：解：（1）因為S_n=

1

2

n²+

11

2

n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+5，
當n=1時a₁=S₁=6，滿足上式，所以a_n=n+5，
又因為b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數列{b_n}為等差數列，
由S₉=

9(b3+b7)

2

=153，b₃=11，故b₇=23，
所以公差d=

23-11

7-3

=3，所以b_n=b₃+（n-3）d=3n+2，
（2）由（1）知c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
又因為T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，
所以{T_n}單調遞增，故（T_n）_min=T₁=

1

3

，
而T_n=

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，故

1

3

≤T_n＜

1

2

，
所以對任意正整數n，T_n∈[a，b]時，a的最大值為

1

3

，b的最小值為

1

2

，故（b-a）_min=

1

2

-

1

3

=

1

6

．

點評：本題考查數列遞推式，數列的求和，裂項法的應用，數列天通項公式的求法，考查計算能力．