Question

（本題滿分16分）

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ） 判斷在區(qū)間上的增減性并證明之；

（Ⅱ） 若不等式≤≤對(duì)恒成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍M；

（Ⅲ）設(shè)≤≤，且，求證：≥.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵  ∴…1分

    設(shè) 則  ……2分

∴在上為減函數(shù)  又    時(shí)，，

∴ ∴在上是減函數(shù)                        ………4分

(Ⅱ)∵ ∴或時(shí)

 ∴…………………………6分

又≤≤對(duì)一切恒成立 ，∴≤≤      ……………8分

（Ⅲ）顯然當(dāng)或時(shí)，不等式成立              ………………………10分

當(dāng)，原不等式等價(jià)于≥ ………11分

下面證明一個(gè)更強(qiáng)的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ ……………………13分

由(1) 知在上是減函數(shù)   又  ∴

∴不等式②成立，從而①成立  又

∴＞

綜上有≤≤且≤≤時(shí)，原不等式成立     …………………………16分