Question

17．已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁=α，x₂=β，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，證明$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=2時(shí)，方程是含有絕對(duì)值的方程，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的值進(jìn)行分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值后解之．
（2）先將含有絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元一次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出k的取值范圍，
（3）根據(jù)（2）即可證明．

解答 解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=|x²-1|+x²+2x=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x-1，x≥1或x≤-1}\\{2x+1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$
∴2x²+2x-1=0或2x+1=0，
解得x=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，x=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$（舍去），x=-$\frac{1}{2}$，
故方程為解為-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$和-$\frac{1}{2}$
（2）：不妨設(shè)0＜α＜β＜2，因?yàn)閒（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+kx-1，|x|＞1}\\{kx+1，|x|≤1}\end{array}\right.$，
所以f（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，則αx₁x₂=-$\frac{1}{2}$＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂，
所以-$\frac{7}{2}$＜k＜-1，
故當(dāng)-$\frac{7}{2}$＜k＜-1時(shí)，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解，
故所求的k的范圍是（-$\frac{7}{2}$，-1）．
（3）由于當(dāng)0＜x₁≤1＜x₂＜2時(shí)，k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＜4，
故$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的高考考點(diǎn)：函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)：解析問(wèn)題的能力較差，分類(lèi)討論的問(wèn)題考慮不全面．備考提示：本題還考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類(lèi)討論等思想方法解析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．