Question

若（2x+4）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，則a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)題意，給自變量x賦值，取x=1和x=-1，兩個(gè)式子相加，得到a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀的值，整理出可以看出能不能被3除的結(jié)果，得到余數(shù)．

解答：解：在已知等式中
取x=1得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=6²⁰¹⁰，
取x=-1得a₀-a₁+a₂-…+a₂₀₁₀=2²⁰¹⁰，
兩式相加得2（a₀+a₂+…+a₂₀₁₀）=6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰，
即a₀+a₂+…+a₂₀₁₀=

1

2

×（6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰）=

1

2

×6²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹．…（6分）
注意到

1

2

×6²⁰¹⁰能被3整除；…（8分）
2²⁰⁰⁹=2×（2²）¹⁰⁰⁴=2×（3+1）¹⁰⁰⁴=2×（3¹⁰⁰⁴+C₁₀₀₄¹•3¹⁰⁰³+…+C₁₀₀₄¹⁰⁰³•3+1），
被3除的余數(shù)是2，因此a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和帶余除法，本題解題的關(guān)鍵是利用二項(xiàng)式定理利用賦值的方法得到式子的結(jié)果，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．