Question

若（2x+4）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，則a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數是多少？

Answer 1

在已知等式中
取x=1得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=6²⁰¹⁰，
取x=-1得a₀-a₁+a₂-…+a₂₀₁₀=2²⁰¹⁰，
兩式相加得2（a₀+a₂+…+a₂₀₁₀）=6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰，
即a₀+a₂+…+a₂₀₁₀=

1

2

×（6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰）=

1

2

×6²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹．…（6分）
注意到

1

2

×6²⁰¹⁰能被3整除；…（8分）
2²⁰⁰⁹=2×（2²）¹⁰⁰⁴=2×（3+1）¹⁰⁰⁴=2×（3¹⁰⁰⁴+C₁₀₀₄¹•3¹⁰⁰³+…+C₁₀₀₄¹⁰⁰³•3+1），
被3除的余數是2，因此a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數是2．…（12分）