Question

(本小題滿分14分)
已知集合是滿足下列性質的函數的全體, 存在非零常數, 對任意, 有成立.
(1) 函數是否屬于集合？說明理由;
(2) 設, 且, 已知當時, , 求當時, 的解析式.
（3）若函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1). (2)當時, .
(3）{k|k= nπ, n∈Z}    

(1)假設函數屬于集合, 則存在非零常數, 對任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情況下，易用反例說明.因而 令, 則, 與題矛盾. 故.  
(2)解決本題的關鍵是，根據1<x+4<2,從而根據時, 求出f(x)的表達式.
(3)解本題應討論當k=0和k≠0兩種情況.
然后解決本題的突破口是對任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx   
因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再對T=1和T=-1兩種情況進行討論.
解:(1) 假設函數屬于集合, 則存在非零常數, 對任意, 有成立,
即: 成立. 令, 則, 與題矛盾. 故. …………5分
注：只要能判斷即可得1分.
(2) , 且, 則對任意, 有,
設, 則, …………8分  
當時, ,
故當時, . …………10分  
3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.   …………11分  
當k≠0時，因為f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數T，對任意x∈R，有
f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .     
因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分
①當T=1時，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mπ, m∈Z .
②當T=－1時，sin(kx－k)=－sinkx成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx成立，
則－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z . …………13分     
綜合得，實數k的取值范圍是{k|k= nπ, n∈Z}  …………14分