Question

已知函數f(x)＝x²＋bx＋c(b，c∈R)，對任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)證明：當x≥0時，f(x)≤(x＋c)²；
(2)若對滿足題設條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c²－b²)恒成立，求M的最小值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)易知f′(x)＝2x＋b.由題設，對任意的x∈R，2x＋b≤x²＋bx＋c，即x²＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)²－4(c－b)≤0，從而c≥＋1.于是c≥1，
且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.
故當x≥0時，有(x＋c)²－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即當x≥0時，f(x)≤(x＋c)².
(2)由(1)知c≥|b|.當c＞|b|時，有
M≥
令t＝，則－1＜t＜1，＝2－.
而函數g(t)＝2－ (－1＜t＜1)的值域是.
因此，當c＞|b|時，M的取值集合為.
當c＝|b|時，由(1)知b＝±2，c＝2.此時f(c)－f(b)＝－8或0，c²－b²＝0，從而f(c)－f(b)≤ (c²－b²)恒成立．
綜上所述，M的最小值為.