Question

20．如圖，在幾何體ABCDEFG中，面ABCD是正方形，其對角線AC于BD相交于N，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中點，DE=2AF=2BG．
（Ⅰ）若點R是FH的中點，證明：NR∥平面EFC；
（Ⅱ）若正方形ABCD的邊長為2，DE=2，求二面角E-FC-G的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別取EF、CF的中點M、Q，連MR、MQ、NQ，推導出四邊形MRNQ為平行四邊形，則MQ∥NR，由此能證明NR∥平面EFC．
（Ⅱ）分別以直線AB、AD、AF為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-FC-G的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）分別取EF、CF的中點M、Q，連MR、MQ、NQ，
則MR∥EH∥FA∥NQ，且MR=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$FA=NQ，
∴四邊形MRNQ為平行四邊形，∴MQ∥NR，
又MQ?平面EFG，NR?平面EFC，
∴NR∥平面EFC．
解：（Ⅱ）分別以直線AB、AD、AF為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則G（2，0，1），F（0，0，1），C（2，2，0），E（0，2，2），
∴$\overrightarrow{FG}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CG}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{FC}$=（2，2，-1），
設平面GFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
同理得平面EFC的法向量$\overrightarrow{m}$=（2，-1，2），
設二面角E-FC-G的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角E-FC-G的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．