Question

已知函數滿足如下條件：當時，，且對任

意，都有.

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）求當，時，函數的解析式；

（3）是否存在，、、、、，使得等式

成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出與的值，利用點斜式求出相應的切線方程；（2）利用題中的條件結合迭

代法求出函數在區間上的解析式；（3）構造新函數，考

查函數在區間上的單調性，求出函數在區間上

的最小值，于是得到，然后利用分組求和法與錯位相減法來證明

題中相應的等式.

（1）時，，，

所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即；

（2）因為，

所以，當，時，，

；

（3）考慮函數，，，

則，

當時，，單調遞減；

當時，；

當時，，單調遞增；

所以，當，時，，

當且僅當時，.

所以，，

而，

令，則，

兩式相減得，

，

所以，，

故，

所以，，

當且僅當，、、、、時，

，

所以，存在唯一一組實數，、、、、，

使得等式成立.

考點：1.導數的幾何意義；2.函數的解析式；3.分組求和法與錯位相減法