Question

【題目】已知函數f（x）=（|x|﹣b）2+c，函數g（x）=x+m．

（1）當b=2，m=﹣4時，f（x）≥g（x）恒成立，求實數c的取值范圍；

（2）當c=﹣3，m=﹣2時，方程f（x）=g（x）有四個不同的解，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c≥﹣；（2）b≥1且1＜b＜.

【解析】

試題（1）代入b=2，m=﹣4，，去絕對值變形為c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，只需求得右邊分段函數的最大值．（2）代入c=﹣3，m=﹣2

，得（|x|﹣b）2=x+1有四個不同的解，所以（x﹣b）2=x+1（x≥0）有兩個不同解且

（x+b）2=x+1（x＜0）也有兩個不同解，兩個二次函數均在各自區間上有兩個實數解，由根的分布，可解出b的范圍．

試題解析：（1）∵當b=2，m=﹣4時，f（x）≥g（x）恒成立，

∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函數的性質得c≥﹣．

（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四個不同的解，

∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有兩個不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有兩個不同解，

由根的分布得b≥1且1＜b＜，

∴1＜b＜．