Question

已知數列{a_n}的前n項和為S，且對于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，設b_n=log₂（a_n+1）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）若cn=

2bn

an•an+1

，證明：c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-n，得a₁=1，S_n-1=2a_n-1-（n-1），所以a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n．由a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，知b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（3）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}為正項數列，所以{C_n}也為正項數列，從而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以數列{c_n}遞減，由此能夠證明c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

解答：解：（1）當n=l時，S₁=2a₁-1，得a₁=1，∵S_n=2a_n-n，∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N⁺，∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（2）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}為正項數列，所以{C_n}也為正項數列，
從而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以數列{c_n}遞減，
所以c1+c2+…+cn＜ c1+

1

2

c1+(

1

2

)2c1+…+(

1

2

)n-1c1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

•c1＜ 

4

3

．

點評：本題考查求解數列通項公式的方法、數列前n項和的計算和遞減數列前n項和最大值的證明，解題時要合理地運用數列的性質．