Question

15．已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當∠AOB為銳角時，求k的取值范圍．
（2）若$k=\frac{1}{2}$，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離公式，結合點O到l的距離$\sqrt{2}＞\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≥\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，可求k的值；
（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，C、D在圓O：x²+y²=2上可得直線C，D的方程，即可求得直線CD是否過定點

解答 解：（1）由題意，$\sqrt{2}＞\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≥\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，
∴$-\sqrt{3}＜k＜-1$或1$＜k＜\sqrt{3}$；
（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，
設P（t，$\frac{1}{2}t-2$），其方程為：$x（x-t）+y（y-\frac{1}{2}t+2）=0$，
又C、D在圓O：x²+y²=2上
∴l_CD：$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2=0$，
即$（x+\frac{y}{2}）t-2y-2=0$
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴直線CD過定點（$\frac{1}{2}$，-1）．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．