【題目】已知函數
.
（1）設
，（其中
是
的導數），求
的最小值；
（2）設
，若
有零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）求導數，得
，對再求導，由導數單調性得最小值；
（2）由（1）知
，因此在
時，
無零點，在
時把函數整理為
的函數：
，因
，
，故
是
的減函數，再分類討論
，
，
，令
，利用導數知識說明函數無零點，
有一個零點，
時，用零點存在定理說明函數有零點．為此只要證明
，
即可．
解：（1）
，
，定義域為
，
時，
，
單減；
時，
，單增
．
（2）①故當時，由（1）知
，故
單增，當
時，
；當
時，
，
，故
；而
，故時，
，此時
無解；
，因，，故是的減函數
②當時，
，
令
，顯然
，
，
，函數
單調遞增
又，故時，
，
單減；
時，
，單增，故
，
，此時無解；
③當
時，
，此時
，即有零點；
④當時，
，令
有
，下證存在
使得
，
，令
，
令
，則
，而
，只需
記
，
單增，
，故
單增
，故存在
，使得，由前
，故在
有解.
綜上所述，當時，有零點
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
上任意一點
處的切線
，在其圖像上總存在異與點A的點
，使得在B點處的切線
滿足
，則稱函數具有“自平行性”.下列有關函數的命題：
①函數
具有“自平行性”；②函數
具有“自平行性”；
③函數
具有“自平行性”的充要條件為實數
；
④奇函數
不一定具有“自平行性”；⑤偶函數
具有“自平行性”.
其中所有敘述正確的命題的序號是（ ）
A.①③④B.①④⑤C.②③④D.①②⑤
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為
、
、
，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.
（1）求出線段AE的長度；
（2）求出隧道CD的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到點
的距離與它到直線
的距離
的比值為
,設動點形成的軌跡為曲線
..
（1）求曲線的方程;
（2）過點的直線與曲線交于
兩點,過
點作
,垂足為
，過
點作
,垂足為
,求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
，
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線交于
，
兩點.
（1）以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；
（2）若
，點
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：
，整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；
（2）若規定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；
（3）若規定分數在
為“良好”,
為“優秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數為“良好”或“優秀”的人數為X,求X的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上所有點橫坐標縮短為原來的
，縱坐標不變，得到曲線
，過點
且傾斜角為
的直線
與曲線交于
、
兩點．
（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；
（2）求
中點
的軌跡的參數方程．
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