Question

（2013•綿陽二模）動點M（x，y）與定點F（l，0）的距離和它到直線l：x=4的距離之比是常數

1

2

，O為坐標原點．
（I ）求動點M的軌跡E的方程，并說明軌跡E是什么圖形？
（II） 已知圓C的圓心在原點，半徑長為

2

是否存在圓C的切線m，使得m與圓C相切于點P，與軌跡E交于A，B兩點，且使等式

AP

•

PB

=

OP

2成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，結合題意建立關于x、y的等式，化簡整理即得

x2

4

+

y2

3

=1，可得軌跡E為焦點在x軸上的橢圓．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據向量數量積的運算性質，結合OP⊥AB化簡得

OA

•

OB

=0．求出圓C方程為x²+y²=2，假設滿足條件的直線m存在，分直線m的斜率存在與不存在兩種情況加以討論，聯解直線m與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的方程組，結合根與系數的關系建立x₁+x₂、x₁x₂關于斜率k和縱截距b的等式，所得到的方程均無實數解，由此可得不存在直線m滿足題中的條件．

解答：解：（Ⅰ）∵|MF|=

(x-1)2+y2

，M（x，y）到直線l：x=4的距離為|x-4|，
∴由題意，得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
化簡整理，得：

x2

4

+

y2

3

=1，可得軌跡E為焦點在x軸上的橢圓．    …（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

OA

•

OB

=（

OP

+

PA

）•（

OP

+

PB

）=

OP

2+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

，
由題知OP⊥AB，故

OP

•

PB

=

PA

•

OP

=0．∴

OA

•

OB

=

OP

2+

PA

•

PB

=0．
∵圓C的圓心在原點，半徑長為

2

，∴圓C方程為x²+y²=2．
假設滿足條件的直線m存在，
①當直線m的斜率不存在時，則m的方程為x=±

2

，
代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得y=±

6

2

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-2-

6

4

≠0，這與

OA

•

OB

=0矛盾，故此時m不存在．
②當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y=kx+b，
∴|OP|=

|b|

1+k2

=

2

，即b²=2k²+2．
聯立

x2

4

+

y2

3

=1與y=kx+b得，（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8kb

3+4k2

，x₁x₂=

4b2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

3b2-12k2

3+4k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4b2-12

3+4k2

+

3b2-12k2

3+4k2

=0．
∴7b²-12k²-12=0，
又∵b²=2k²+2，
∴2k²+2=0，該方程無解，即此時直線m也不存在．
綜上所述，不存在直線m滿足條件．…（13分）

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程并討論了直線m與曲線的位置關系．著重考查了橢圓的標準方程和簡單性質、軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線關系等知識，屬于中檔題．