Question

（2013•綿陽二模）已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6，

AB

與

BC

的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積、三角形的面積公式和正切函數的單調性即可求出；
（Ⅱ）利用三角恒等變形及三角函數的單調性即可求出．

解答：解：（I）由題意知

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6．
S=

1

2

|

AB

| |

BC

|sin(π-θ)=

1

2

|

AB

| |

BC

|sinθ
=

1

2

|

AB

| |

BC

|cosθtanθ
=

1

2

×6tanθ=3tanθ．
∵3≤S≤3

3

，
∴3≤3tanθ≤3

3

，∴1≤tanθ≤

3

．
又∵θ∈[0，π]，∴

π

4

≤θ≤

π

3

．
（II）∵f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+

2

sin(2θ+

π

4

)．

∵θ∈[ π 4 ， π 3 ]

，∴(2θ+

π

4

)∈[

3π

4

，

11π

12

]．
∵y=sinx在[

π

2

，π]上單調遞減，
∴當2θ+

π

4

=

3π

4

，即θ=

π

4

時，sin(2θ+

π

4

)取得最大值

2

2

，
∴f（θ）的最大值為2+

2

×

2

2

=3．

點評：熟練掌握向量的數量積運算和三角函數的單調性是解題的關鍵．