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(2013•綿陽二模)已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
3
,且
AB
BC
=6
AB
BC
的夾角為θ.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)求函數f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值.
分析:(Ⅰ)利用向量的數量積、三角形的面積公式和正切函數的單調性即可求出;
(Ⅱ)利用三角恒等變形及三角函數的單調性即可求出.
解答:解:(I)由題意知
AB
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6

S=
1
2
|
AB
| |
BC
|sin(π-θ)
=
1
2
|
AB
| |
BC
|sinθ

=
1
2
|
AB
| |
BC
|cosθtanθ

=
1
2
×6tanθ
=3tanθ.
3≤S≤3
3

3≤3tanθ≤3
3
,∴1≤tanθ≤
3

又∵θ∈[0,π],∴
π
4
≤θ≤
π
3

(II)∵f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+
2
sin(2θ+
π
4
)

∵θ∈[
π
4
π
3
]
,∴(2θ+
π
4
)∈[
4
11π
12
]

∵y=sinx在[
π
2
,π]
上單調遞減,
∴當2θ+
π
4
=
4
,即θ=
π
4
時,sin(2θ+
π
4
)
取得最大值
2
2

∴f(θ)的最大值為2+
2
×
2
2
=3.
點評:熟練掌握向量的數量積運算和三角函數的單調性是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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1
2
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x2
4
-
y2
12
=1
與雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1
是“相近雙曲線”,則
n
m
的取值范圍是
[
4
21
4
5
]∪[
5
4
21
4
]
[
4
21
4
5
]∪[
5
4
21
4
]

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13
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