Question

在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小．（結果用反三角函數表示）

Answer 1

【答案】分析：（I）以O為原點建立空間直角坐標系，AE=BF=x，驗證，即可證明A′F⊥C′E；
（Ⅱ）利用基本不等式，確定三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，，過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF，從而∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角，即可求出二面角B′-EF-B的大小．
解答：（I）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．
設AE=BF=x，則A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）
∴．…（4分）
∵，
∴A′F⊥C′E．
（II）解：記BF=x，BE=y，則x+y=a，
三棱錐B′-BEF的體積，
當且僅當時，等號成立．
因此，三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，．…（10分）
過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．
在直角三角形BEF中，直角邊是斜邊上的高，
∴，，
故二面角B′-EF-B的大小為．…（14分）
點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查三棱錐的體積，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．