【題目】已知函數f(x)＝lnx＋2x－6。
(1)證明：函數f(x)在其定義域上是增函數；
(2)證明：函數f(x)有且只有一個零點；
(3)求這個零點所在的一個區間，使這個區間的長度不超過
。
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
.
【解析】
（1）直接根據函數單調性的定義，即可證明；
（2）由零點判定定理，即可證明；
（3）由（2）知，該零點在區間(2,3)上，從而利用二分法確定區間即可.
(1)證明：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，設0<x1<x2，則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.
∴ lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．
∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
(2)證明：∵ f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)在(2,3)上至少有一個零點，
又由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上是增函數，因此函數至多有一個根，
從而函數f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．
(3)解：由（2）可知f(x)的零點
，
取
，
， 
∴
區間長度
取
，
，∴
.
∴
，區間長度
，
∴
即為符合條件的區間．
舉一反三單元同步過關卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知互不重合的直線
,互不重合的平面
,給出下列四個命題，正確命題的個數是
①若
， 
，
，則 
②若
，
，
則
③若
，
，
，則
④若 ， ，則//
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
(1)若函數
為
上的奇函數，求實數a的值；
(2)當
時，函數在
為減函數，求實數a的取值范圍；
(3)是否存在實數
(
)，使得 在閉區間
上的最大值為2，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a，b，c分別為銳角△ABC三個內角A，B，C的對邊，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC （Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若f（x）= 
sin 
cos +cos2 ，求f（B）的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，函數
在
上是單調遞增函數，則
的取值范圍是______.
【答案】
【解析】∵
，
∴
，
又函數
在
單調遞增，
∴
在
上恒成立，
即
在
上恒成立。
又當
時， 
，
∴
。
又
，
∴
。
故實數
的取值范圍是
。
答案： 
點睛：對于導函數和函數單調性的關系要分清以下結論：
（1）當
時，若
，則
在區間D上單調遞增（減）；
（2）若函數
在區間D上單調遞增（減），則
在區間D上恒成立。即解題時可將函數單調性的問題轉化為
的問題，但此時不要忘記等號。
【題型】填空題
【結束】
19
【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶.甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷.根據以上條件，可以判斷偷珠寶的人是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右兩個焦點分別為
，離心率
，短軸長為2.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點
為橢圓上的一動點（非長軸端點），
的延長線與橢圓交于
點，
的延長線與橢圓交于
點，若
面積為
，求直線
的方程.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
或
【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得
，再由
橢圓的方程為；（Ⅱ）①當直線斜率不存在時，不妨取
面積為
，不符合題意. ②當直線斜率存在時，設直線
， 由
得
，再求點
的直線
的距離
點到直線的距離為
面積為 
∴
或
所求方程為
或
.
試題解析：
（Ⅰ）由題意得
，∴
，
∵
，∴
，
∴橢圓的方程為.
（Ⅱ）①當直線斜率不存在時，不妨取
，
∴面積為 ，不符合題意.
②當直線斜率存在時，設直線，
由化簡得
，
設
，
∴
，
∵點的直線的距離
，
又是線段
的中點，∴點到直線的距離為
，
∴面積為 
，
∴
，∴
，∴
，∴
或
，
∴直線的方程為或.
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間與極值；
（Ⅱ）若
，且
，證明： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形ABC沿x軸滾動，記滾動過程中頂點A的橫、縱坐標分別為
和
，且是在映射
作用下的象，則下列說法中：
① 映射的值域是
；
② 映射不是一個函數；
③ 映射是函數，且是偶函數；
④ 映射是函數，且單增區間為
，
其中正確說法的序號是___________.
說明：“正三角形ABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉，當頂點C落在x軸上時，再以頂點C為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正三角形ABC可以沿x軸負方向滾動．
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