Question

一個公差不為0的等差數列{a_n}共有100項，首項為5，其第1、4、16項分別為正項等比數列{b_n}的第1、3、5項．

(1)求{a_n}各項的和S；

(2)記{b_n}的末項不大于，求{b_n}項數的最值N；

(3)記{a_n}前n項和為S_n，{b_n}前N項和為T_n，問是否存在自然數m，使S_m＝T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：設{an}公差為d，a1＝5，a4＝5＋3d，a16＝5＋15d分別為{bn}的第1、3、5項， 　　∴(5＋3d)2＝5(5＋15d)，得d＝5或d＝0(舍)． 　　(1)S＝100×5＋×5＝25250． 　　(2)∵b1＝a1＝5，b3＝a4＝20，∴q2＝＝4． 　　∴q＝2或q＝－2(舍)，bn＝5·2n－1． 　　令5·2n－1≤， 　　∴2n≤5050．又212＜5050＜213，即n＜13，且212＝4096＜5050， 　　∴n的最大值N＝12． 　　(3)設有Sm＝Tn，即5m＋×5＝5(212－1)，整理得m2＋m－8190＝0， 　　∴m＝90＜100或m＝－91(舍)，即存在m＝90使S90＝T12．