Question

一個公差不為0的等差數列{a_n}，首項為1，其第1、4、16項分別為正項等比數列{b_n}，的第1、3、5項．
（1）求數列{a_n}，與{b_n}的通項公式；
（2）記數列{a_n}，與{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n，試求正整數m，使得S_m=T₁₂；
（3）求證：數列{b_n}中任意三項都不能構成等差數列．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}為等差數列，所以只需求出首項和公差，就可得到通項公式．同樣，因為數列{b_n}為等比數列，所以只需求出首項和公比，就可得到通項公式．把a₁，a₄，a₁₆，都用a1，d表示，b₁，b₃，b₅都用b₁，q表示，因為{a_n}，首項為1，其第1、4、16項分別為正項等比數列{b_n}，的第1、3、5項，可找到含a₁，d，b₁，q的幾個等式，解出a₁，d，b₁，q即可
（2）由（2）中所求的a₁，d，b₁，q的值，可求出數列{a_n}，與{b_n}的前n項和S_n與T_n，再令S_m=T₁₂，解出m即可．
（3）用反證法證明，先假設{b_n}中存在三項b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）組成等差數列，根據假設求i，j，k的關系，得出不成立的結論，則假設不成立，命題的證．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，∴a₄=a₁+3d，a₁₆=a₁+15d
又b₁=a₁，b₃=a₄，b₅=a₁₆∴b₃²=b₁b₅
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+15d），∴9a₁d=9d²．∵d≠0，a₁=d．
∴d=1，a_n=n．
又{b_n}的公比為q，∴q²=

b3

b1

=

a4

a1

=4，而b_n＞0，∴q＞0，∴q=2，
∴b=2^n-1．
（2）∵S_m=

m(m+1)

2

，T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1
由S_m=T₁₂，∴

m(m+1)

2

=2¹²-1，∴m²+m-8190=0．
∴m=90，m=-91（舍），∴m=90．
（3）反證法：假設{b_n}中存在三項b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）組成等差數列，∴2b_j=b_i+b_k
∴2×2^j-1=2^i-1+2^k-1，（※）∵i＜j＜k，∴j-i∈N^*，k-i∈N^*
∴2^j-i+1=2^k-i+1．∵2^j-i+1是偶數，2^k-i+1是奇數，∴等式（※）不成立．∴反設不真．
∴{b_n}中不存在三項構成等差數列．

點評：本題考查了等差等比數列通項公式，前n項和的求法，以及反證法證明不等式，做題時要細心．