Question

一個公差不為0的等差數列{a_n}，首項為1，其第1、4、16項分別為正項等比數列{b_n}的第1，3，5項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n，試求正整數m，使得S_m=T₁₂．

Answer 1

分析：（1）由兩數列對應三項相等建立一個方程組，而求得公差和公比以及等比數列首項，再用通項公式求解．
（2）由（1）利用等差數列和等差數列的前n項和，建立方程再求解．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}公差為d等比數列{b_n}的公比為q，
根據題意得：

a1=b1 a1+3d=b1q2 a1+15d=b1q4

解得：d=1，q=2
∴a_n=n，b_n=2^n-1
（2）S_n與=

n(n+1)

2

，T_n=2ⁿ-1
S_m=T₁₂；
∴

m(m+1)

2

=212-1
∴m=90．

點評：本題是等差與等比數列綜合問題，通過相應項相同建立聯系來考查通項公式和前n項和公式．