Question

已知函數f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超過x的最大整數，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定義a_n是函數f（x）的值域中的元素個數，數列{a_n}的前n項和為S_n，則滿足a_nS_n＜500的最大正整數n=

9

．

Answer 1

分析：先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，最后解不等式a_nS_n＜500即可求出所求．

解答：解：∵函數f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，則x[x]=nx
∴函數f（x）的值域中的元素個數是n
∴a_n=n，S_n=

n(n+1)

2

∴a_nS_n=

n2(n+1)

2

＜500
令g（n）=

n2(n+1)

2

，則g'（n）=

3n2+2n

2

＞0
而g（9）=405＜500，g（10）=550＞500
∴滿足a_nS_n＜500的最大正整數n=9
故答案為：9

點評：本題主要通過取整函數來建立新函數，進而研究其定義域和值域，以及考查了數列與不等式的綜合，屬于中檔題．