Question

函數(shù)f(x)=lg[x-1+

(x-1)2+1

]的圖形（　　）

A．關于（0，0）點對稱

B．關于y軸對稱

C．關于（1，0）點對稱

D．關于直線x=1對稱

Answer 1

分析：先判斷函數(shù)的定義域，然后通過換元法設t=x-1，則證明函數(shù)y=g（t）=lg(t+

t2+1

)為奇函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)y=g（t）與y=f（x）的關系確定對稱性．

解答：解：因為

(x-1)2+1

＞

(x-1)2

=|x-1|，所以若x-1＞0，則x-1+

(x-1)2+1

＞0．
若x-1≤0，則

(x-1)2+1

＞

(x-1)2

=|x-1|=-(x-1)，所以x-1+

(x-1)2+1

＞0．
所以函數(shù)的定義域為R，所以定義域關于原點對稱．
設t=x-1，則y=g（t）=lg(t+

t2+1

)，
則g(-t)=lg(-t+

t2+1

)=lg

1

t+ t2+1

=-lg(t+

t2+1

)=-g(t)，
所以函數(shù)g（t）是奇函數(shù)，所以函數(shù)g（t）的圖象關于原點對稱，
所以g（x-1）的圖象關于原點對稱，所以函數(shù)f（x）的圖象關于（1，0）點對稱．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用換元法，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象的特點．