Question

已知函數f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意對a進行討論；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，可得（2x²-4ax）lnx+x²＞0，即f（x）＞0恒成立，轉化為f（x）_min＞0，借助（1）問結論可求．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

(2x2-4ax)+lnx(4x-4a)+2x
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜

1

e

，當x∈（0，a），x∈（

1

e

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（a，

1

e

）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以f（x）的單調遞增區間是（0，a），（

1

e

，+∞）；單調遞減區間是（a，

1

e

）．
②若a=

1

e

，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
③若a＞

1

e

，當x∈（0，

1

e

），x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（

1

e

，a）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以f（x）的單調遞增區間是（0，

1

e

），（a，+∞）；單調遞減區間是（

1

e

，a）．
（2）因為x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得
（2x²-4ax）lnx+x²＞0，即函數f（x）＞0對x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，當0＜a≤

1

e

時，f（x）在，[1，+∞）上單調遞增，則f（x）_min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤

1

e

．
當

1

e

＜a≤1，則f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
當a＞1時，f（x）在（1，a）上單調遞減，（a，+∞）上單調遞增，則
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜

e

．
綜上所述，0＜a＜

e

．

點評：本題考查應用導數研究函數單調性、最值問題，導數是研究函數單調性、最值問題的有力工具．