Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinAsinC+sinBsinC+cos2C=1，a+b=10．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若B=

2π

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角的三角函數公式化簡已知等式，結合正弦定理得到ac+bc=2c²，得a+b=2c=10，從而得到c=5．
（II）利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入題中數據解出b=7，從而得出a=3，再利用三角形的面積公式加以計算，可得△ABC的面積．

解答：解：（I）∵在△ABC中，sinAsinC+sinBsinC+cos2C=1，
∴sinAsinC+sinBsinC=1-cos2C=2sin²C，
根據正弦定理，得ac+bc=2c²，得a+b=2c，
∵a+b=10，
∴2c=10，解得c=5．
（2）∵B=

2π

3

，c=5，a=10-b，
∴根據余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得b²=（10-b）²+5²-2（10-b）•5cos

2π

3

=b²-25b+175，
解之得b=7，
∴a=10-b=3，
由此可得△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×5×

3

2

=

15 3

4

．

點評：本題給出三角形角的關系式，在已知a+b=10的情況下求邊c，并依此求三角形的面積．著重考查了二倍角三角函數公式、正余弦定理和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．