Question

證明：

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

n(n-1)

4

（n≥2）．

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：推理和證明

分析：構造函數g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），利用導數法可判斷g（x）在[3，+∞）上單調遞減，當x≥3時，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，利用累加法可證結論成立．

解答： 證明：令g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），
則g′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

，
當x≥3時，g′（x）＜0，所以，g（x）在[3，+∞）上單調遞減；
所以，當x≥3時，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，
∴g（4）=

ln4

4

-

4-1

2

=

ln4

4

-

3

2

＜0，
…，
g（n）=

lnn

n

-

n-1

2

＜0，
又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，
所以，g（2）+g（3）+…+g（n）=（

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

）-（

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

）＜0，
所以，

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

=

1

2

•

(1+n-1)(n-1)

2

=

n(n-1)

4

，
故原命題得證．

點評：本題考查不等式的證明，構造函數g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），并分析得到g（x）在[3，+∞）上單調遞減是關鍵；考查轉化思想．