Question

【題目】已知函數，且.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意，都有，求的取值范圍；

（3）證明函數的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

試題（1）首先求出函數的定義域，再對 求導，代入 ，解方程可得，即可求得函數的解析式；
（2）由題意可得 恒成立，即 恒成立，令，求出的導數，單調區間，求得最大值，即可得到的取值范圍；
（3）要證明函數的圖象在圖象的下方.，即證 恒成立，即證 ，即證 ，令 求得導數，得到單調性，即可得證．

試題解析：（1）易知函數的定義域 所以 ，又；

（2）若對任意的 ，都有
即 恒成立，即 恒成立
令，則

當 時，所以 單調遞增；
當 時，所以單調遞減；

時，有最大值 ，即 的取值范圍為
（3）要證明函數的圖象在圖象的下方.，即證 恒成立，即

由（2）可得： ，所以

要證明 ，只要證明 ，即證
令 則 當 時， 所以 單調遞增，

即
所以 從而得到 ，
所以函數的圖象在圖象的下方