Question

在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：

2

，則它們的面積比為1：2，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積的比為

1：8

．

Answer 1

分析：利用類比推理可知：猜想體積比應是棱長比的立方，通過計算正四面體的體積即可驗證其猜想．

解答：解：如圖所示，兩個正四面體的棱長分別為2a、a．
假設AB=2a，點O是正△ABC的中心，則PO⊥平面ABC，則AO=

2

3

AD=

2

3

×

3

a=

2 3 a

3

，∴PO=

AP2-AO2

=

(2a)2-( 2 3 a 3 )2

=

2 6 a

3

．
而S_△ABC=

1

2

(2a)2sin60°=

3

a2，
∴V_P-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

1

3

×

3

a2×

2 6 a

3

=

2 2 a3

3

=

2 (2a)3

12

．
∴

V2a

Va

=

2 (2a)3 12

2 a3 12

=

8

1

．
故答案為1：8．

點評：熟練掌握類比推理及其正四面體的體積計算公式設解題的關鍵．