Question

已知一隧道的截面是一個半橢圓面（如圖所示），要保證車輛正常通行，車頂離隧道頂部至少要有0.5米的距離，現有一貨車，車寬4米，車高2.5米。
（1）若此隧道為單向通行，經測量隧道的跨度是10米，則應如何設計隧道才能保證此貨車正常通行？（2）圓可以看作是長軸短軸相等的特殊橢圓，類比圓面積公式，請你推測橢圓（a>b>0）的面積公式，并問，當隧道為雙向通行（車道間的距離忽略不記）時，要使此貨車安全通過，應如何設計隧道，才會使同等隧道長度下開鑿的土方量最小？

Answer 1

解：以長軸所在直線為x軸，如圖建立平面直角坐標系，并設截口曲線所在橢圓的方程為；
（1）由題知，，且橢圓過點（2，3），得，
故隧道頂部離地面至少米；
（2）猜測橢圓面積公式為，
橢圓過點（4，3），即，
當時取等號，此時，所以設計時在同等長度下會使開挖土方最少。