Question

已知函數(shù)f（x）=πsin

x

2

，如果存在實數(shù)x₁，x₂，使得對任意的實數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則|x₁-x₂|的最小值是

2π

．

Answer 1

分析：由題意，可得f（x₁）、f（x₂）分別為函數(shù)的最小值與最大值．再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，|x₁-x₂|的最小值等于半個周期，由三角函數(shù)的周期公式加以計算，即可得到|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函數(shù)f（x）對應(yīng)的最大、最小值的x，
故|x₁-x₂|一定是 

T

2

的整數(shù)倍，
∵函數(shù)f（x）=πsin 

x

2

的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
∴|x₁-x₂|=n×

T

2

=2nπ（n＞0，且n∈Z），
則|x₁-x₂|的最小值為2π．
故答案為：2π

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的最值，是一道基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用題．高考對三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，要強化基礎(chǔ)知識的夯實．