Question

【題目】已知函數（）.

（1）求證：函數是增函數；

（2）若函數在上的值域是（），求實數的取值范圍；

（3）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）設，然后利用單調性的定義證明.

（2）由（1）得，函數是增函數，利用轉化為方程運用韋達定理即可.

（3）把不等式變形為，然后定義新函數并運用二次函數的性質即可得到答案.

（1）設，則

由于，故，

因此，即

故該函數為增函數.

（2）由（1）得，函數是增函數，則，即，

所以 可視為方程的兩個不同的正實數根

，解得，即實數的取值范圍是.

（3）不等式，即

因為，上述不等式化為，

令，則其圖象對稱軸為，討論兩種情況：

① ，解得；

② 即解得：.

綜上，實數的取值范圍為.